Wiskundeclub week 23: Pi!

Gisteren was het pi-dag, dus vandaag besteedden we uitgebreid aandacht aan pi tijdens de wiskundeclub. Ik kopieer het deel van mijn lesplan dat over pi gaat hieronder.

Voordat we dit hebben gedaan, hebben we eerst een korte opfrisser gedaan over oppervlakte. De oppervlakte van rechthoeken en driehoeken. We deden vervolgens een opdracht van NRICH: Area and Perimeter.

Pi-dag lesplan (ongeveer middle schoolniveau):

• Opwarmer: Estimation180: http://www.estimation180.com/day-212.html
• Kijken: SchoolTV: korte uitleg van pi (niet de quiz, die vragen zijn wat makkelijk): https://schooltv.nl/link/pi/
• Doen: Omtrek van een cirkel benaderen. Neem verschillende ronde voorwerpen: 
• Stap 1: Doe een stukje touw om je voorwerp heen om de omtrek te meten, knip het touw op de goede lengte af, neem nu het stukje touw en meet daarmee de diameter, en knip een stukje van het touw af dat zo lang is als de diameter [de kinderen zouden na een paar voorwerpen moeten zien dat je iedere keer drie hele diameters uit het stuk touw kan knippen en dan een heel klein stukje over hebt; dit betekent dat er een vaste verhouding is tussen de omtrek van een cirkel en de diameter van die cirkel] 
• Stap 2: Nu gaan we bekijken wat die vaste verhouding is. Doe een stukje touw om je voorwerp heen om de omtrek te meten, meet de diameter van de cirkel, zet de verschillende metingen in een tabel. 
• Kijken: Beauty of pi: mooi filmpje over het aantal getallen in pi en toepassingen van pi: https://vimeo.com/183741782
• Doen: Oppervlakte van een cirkel bepalen: https://www.resolve.edu.au/area-circle
• Eerst kijken we wat te klein is, dan kijken we wat te groot is. Maak gebruik van je kennis over vierkanten en dat je de radius r kent. 

• Stap 1: Teken een cirkel. We willen weten wat de oppervlakte van de cirkel is. 
• Stap 2: Welk vierkant kun je maken op basis van r dat zeker een grotere oppervlakte heeft dan de cirkel? [zie rechterfiguur in het plaatje hierboven; oppervlakte is 2r x 2r] 
• Stap 3: Welk vierkant kun je maken op basis van r dat zeker een kleinere oppervlakte heeft dan de cirkel? Wat is de oppervlakte van dit vierkant? [zie linker figuur plaatje hierboven; oppervlakte uitrekenen door oppervlakte van 1 van de driehoeken uit te rekenen en dat x4 te doen: 1/2 x r x r x4] 
• Stap 4: de oppervlakte van het linker vierkant is zeker kleiner dan de oppervlakte van onze cirkel, de oppervlakte van het vierkant rechts is zeker groter. Dus de oppervlakte van onze cirkel is iets tussen 2r2 en 4r2. Wat verwacht je dat het zal zijn? [π r2] 
• Doen: Oppervlakte van een cirkel benaderen (hieronder staan twee manieren, ik heb twee kinderen de ene manier laten doen en de andere twee deden de andere manier, daarna heb ik ze aan elkaar laten uitleggen hoe ze de oppervlakte hadden berekend), nog steeds van:  https://www.resolve.edu.au/area-circle:

• Demonstration 2: Slices of Pie 
• A circle is divided into equal sectors. The diagram shows 18 equal sectors. Students may wish to actually cut the circle out and paste into place. 
• Sectors are rearranged to approximate a rectangle 
• Wat gebeurt er met de vorm van de ‘almost rectangle' als je de taartpunten van de cirkel kleiner maakt? 
• Wat is de lengte en de hoogte van de driehoek? En wat is dus de oppervlakte? [hint: gebruik de formule voor de omtrek van een cirkel 2 π r, als de omtrek zo lang is, hoe lang is dan de lange zijde van de rechthoek?] 
• Demonstration 3: Archimedes’ Polygons 
• A right-angled triangle with sides meeting at right angles of length r and C is drawn. The side of length C is divided equally into a given number of line segments (in the diagram provided there are 12 segments). 
• A circle of radius r is drawn and divided into the same number of sectors as line segments constructed above, and with the vertex of each sector at the centre of the circle. 
• As the number of sectors and line segments increases the area of each sector becomes nearly the same as the area of the triangle constructed on each line segment, hence the area is A ≈ πr2. 
• Wat is de oppervlakte van de linkersector van de rechthoekige driehoek? En van de volgende sector? En de volgende? 
• [hint: Students will need to recognise that triangles with the same height and equal bases have the same area] 
• What happens to each sector of the circle when you increase the number of line segments on the base of the large triangle? 
• Kijken: Numberphile - Calculating pi with pies: https://youtu.be/ZNiRzZ66YN0
• Nog extra tijd (hadden wij niet) en een extra uitdaging nodig? Probeer onderstaande puzzel van Brilliant op te lossen: 

We deden ook weer een math circle, op de foto zie je de hersens kraken :-)